Welche mathematischen Formeln werden zur Berechnung von Intervallen in der pythagoräischen Stimmung verwendet?

In der Welt der Musik gibt es eine faszinierende Beziehung zur Mathematik. Die pythagoräische Stimmung, ein altes Stimmsystem, beinhaltet die Verwendung mathematischer Formeln zur Berechnung von Intervallen. In diesem Artikel befassen wir uns mit den faszinierenden Zusammenhängen zwischen Musik und Mathematik und erforschen die mathematischen Aspekte der pythagoräischen Stimmung und ihrer relevanten Formeln.

Was ist pythagoräische Stimmung?

Die pythagoräische Stimmung ist ein musikalisches Stimmsystem, das auf dem Prinzip der vollkommenen Quinte basiert. Der Name geht auf den antiken griechischen Mathematiker Pythagoras zurück, der numerische Beziehungen zwischen schwingenden Saiten und musikalischen Intervallen entdeckte. Bei diesem Stimmsystem ist das Frequenzverhältnis für das perfekte Quintintervall auf 3:2 eingestellt.

Mathematische Formeln in der pythagoräischen Stimmung

Die pythagoräische Stimmung umfasst verschiedene mathematische Formeln zur Berechnung der Häufigkeit von Intervallen und Noten. Diese Formeln basieren auf den Prinzipien einfacher Verhältnisse und der harmonischen Reihe.

1. Berechnung der Intervalle

Die Grundvoraussetzung der pythagoräischen Stimmung ist die Berechnung von Intervallen auf der Grundlage einfacher Frequenzverhältnisse. Die vollkommene Quinte und die Oktave sind von zentraler Bedeutung für die pythagoräische Stimmung, und die Berechnungen umfassen die Verwendung des Verhältnisses 3:2 für die vollkommene Quinte und des Verhältnisses 2:1 für die Oktave.

Die Formel zur Berechnung der Frequenz einer Note in pythagoräischer Stimmung verwendet die perfekte Quinte als Ausgangspunkt. Bei einer Referenztonhöhenfrequenz kann die Frequenz der Note in einem bestimmten Intervall mithilfe der Formel berechnet werden:

f _n = f ₀ * (3/2) ⁿ

Wo:

• f _n = Häufigkeit der Note im Intervall
• f ₀ = Referenztonfrequenz
• n = Anzahl der perfekten Quinten oder Oktaven von der Referenztonhöhe entfernt

Diese Formel ermöglicht die genaue Berechnung der Frequenzen für verschiedene Töne innerhalb des pythagoräischen Stimmsystems.

2. Berechnung der Stimmung für bestimmte Skalen

Die pythagoräische Stimmung umfasst auch spezifische Berechnungen zur Abstimmung verschiedener Skalen. Bei der diatonischen Tonleiter sind die Verhältnisse der großen und kleinen Terzen entscheidend. Die Formel zur Berechnung des Frequenzverhältnisses für eine große Terz lautet:

(5/4) / (3/2) = 5/6

In ähnlicher Weise kann die Berechnung für das Frequenzverhältnis einer kleinen Terz wie folgt ausgedrückt werden:

(6/5) / (3/2) = 6/10

Diese Berechnungen sind von grundlegender Bedeutung für die Kartierung der Intervalle für bestimmte Skalen innerhalb der pythagoräischen Stimmung.

Abschluss

Die pythagoräische Stimmung bietet einen fesselnden Einblick in die Schnittstelle von Musik und Mathematik. Die mathematischen Formeln zur Berechnung von Intervallen ermöglichen ein tieferes Verständnis der Beziehungen zwischen musikalischen Frequenzen und den zugrunde liegenden mathematischen Prinzipien. Während Musiker und Mathematiker gleichermaßen in dieses faszinierende Gebiet eintauchen, entfalten sich die reichen Verbindungen zwischen Musik und Mathematik immer weiter.